Dieser Text beschreibt Metrischer Tensor der Ebene.
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Metrischer Tensor der Ebene ArtikelBuch-Tipp: Algorithmen und Problemlösungen mit C++ Klasse Buch Ich habe das Buch schon kurz nach dem Erscheinen besorgt, und ich muss sagen, es hat mich sehr beeindruckt. Die Art und Weise, wie interessante klassische und originelle Themen aus Mathematik, Algorithmen und Programmierung miteinander verknüpft werden, finde ich sehr gut gelungen. Man merkt, dass die Probleme und Beispiele sehr aufmerksam... Das folgende Beispiel definiert den Metrischen Tensor der Ebene und zeigt, wie hiermit Abstände in der Ebene berechnet werden können. Etwas kompliziertere Verhältnisse hat man beim Metrischen Tensor der Speziellen Relativitätstheorie.
Die Raumzeit der Speziellen Relativitätstheorie und die Ebene werden auch als flach genannt.
Im Prinzip kann man in Ebenen und flachen Räumen auf die Verwendung von Differentialen zur Abstandsberechnung verzichten, sie dienen hier ca. zur Motivation der analogen Beschreibung in krummlinigen Strukturen.
Gegeben seien zwei Punkte (x0) und (x1) in der Ebene, mit folgenden Koordinatendarstellungen
(x0) = (x0,y0),(x1) = (x1,y1).
Das Quadrat des Abstandes zwischen den Punkten ist definiert als d2 = (x1 - x0)2 + (y1 - y0)2
Definition: dx0: = (x1 - x0),dx1: = (y1 - y0)
Für d werde in dem folgenden der Term ds benutzt, dann erhält man folgende Gleichung für das Quadrat des Abstandes:
ds2 = (dx0)2 + (dx1)2
Der Metrische Tensor der Ebene wird nun folgendermaßen definiert:
Mit den vorgenommenen Definition läßt sich ds2 folgendermaßen schreiben: ds2 = gikdxidxk
dabei wird über alle vorkommenden Werte der Indizes i,k summiert:
ds2 = g00dx0dx0 + g01dx0dx1 + g10dx1dx0 + g11dx1dx1 = dx0dx0 + dx1dx1
Damit wurde gezeigt, wie mit dem Metrischen Tensor der Ebene Abstände in der Ebene ausgedrückt werden können. ds2,dx0,dx1 beschreiben in dieser Darstellung Differenzen, will man z.B. Abstände auf der Kugeloberfläche beschreiben so gelten dieser Formeln ca. für "sehr nahe beieinanderliegenden Punkten", man geht über zu Differentialen.
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